August 1st, 2021

Евклидомахия 1

Появление неевклидовых геометрий иногда называют "коперниканским переворотом" в геометрии.
Думаю, что эта характеристика не менее и не более точна и уместна, чем в том случае, когда Кант применил ее к своей философии.
Я однако предпочел более нейтральную: евклидомахия, поборание Евклида.

Итоги обсуждения и то, что на данный момент удалось понять, изложу в нескольких постах.

1. Откуда интерес и вопросы
Я стал читать Коффу (The Semantic Tradition from Kant to Carnap). (Почему эту книгу? Хотелось как-то соотнести то, что о мышлении надумал ГП с развитием логики и аналитической философии в ХХ веке). И натолкнулся на дискуссии вокруг понятия «созерцание» (Anschauung, у Коффы – intuition). Синтетические априорные суждения, по Канту, основаны именно на «чистом созерцании», проще говоря – очевидности. И в частности, это сам Кант относил к аксиомам геометрии Евклида – на ту пору, впрочем, единственной. И, понятно, что уже первая неевклидова геометрия, «очами увидеть» которую не получается, поставила кантово созерцание под вопрос. Коффа рассказывает, как попытался примирить Канта с Лобачевским Бельтрами и как повернул интерпретацию Бельтрами против Канта Гельмгольц.
Захотелось понять само движение мысли, его внутреннее устройство, которое которое произвело этот переворот.
Позже я вернусь к этому с цитатами, а пока что просто скажу, что нашел замечательную подборку первоисточников по теме – от Лобачевского до Гильберта и Клейна, через которую с превеликим умственным напрягом продираюсь.
Такова отправная точка.

Евклидомахия 2: знание или правила игры?

Главное, что мне помогло допонять обсуждение – это то, что «переворот» состоял в изменении отношения к геометрическим утверждениям – к аксиомам и, соответственно, всему, что на них основано: если прежде от Евклида (да и раньше, наверно, от Пифагора) до «переворота» в них видели знания, то после они превратились в «правила игры». (Соответственно, и права akula_dolly, указавшая на разницу, аксиомы стали постулатами). Об этом прямо этими словами kaktus77 и о том же, о варьировании аксиомы при условии непротиворечивости другим аксиомам – в других комментах. Понятно. Потом вернусь к этому с интересных и не вполне ясных для меня сторон.
А сейчас про то, от чего отказались – от очевидности. Отвечаю на вопрос, заданный antonk83: понимаю ли я под «онтологическим статусом» аксиом их соответствие физическому миру? Нет. На мой взгляд, до «переворота» очевидность по большей части понималась (в том числе и Кантом) платонически – как умозрение идеального (Anschauung Канта – то же, что ϑεωρία у греков).
КП, мой постоянный собеседник-логик (он, разумеется, на стороне евклидомахов и, вообще, заявляет себя антиплатоником) охарактеризовал эту позицию, как «моно-тео-логизм» – имея, как я понимаю, в виду, тот взгляд, что очевидная геометрия Евклида (ну, правда, попробуйте себе представить проведенную через точку вне прямой прямую, ей параллельную – разве не видно, что такая прямая одна?) есть геометрия того единственного сотворенного Богом мира, «лучшего из всех возможных», если верить Библии и Лейбницу, в котором мы живем.
Но это побуждает приглядеться к вопросу о единстве или множественности миров – сущих, воображаемых, измененных или могущих измениться, даже «непомышляемых» (О.Генисаретский). Об этом – отдельно.

что важнее?

Рассела... отчасти изумляли, а отчасти возмущали попытки Витгенштейна убедить его "со всей серьезностью, что лучше быть добрым, чем умным".

Копенкин дальше уже не мог выговорить своей досады — он невнятно чувствовал, что эти люди гораздо умнее его, но как-то одиноко становилось Копенкину от такого чужого ума.

Евклидомахия 3: "вписанные" пространства и внутренняя геометрия

То, что можно сочинить много разных геометрий по типу разных «правил игры», совершенно ясно, и обсуждать тут, как мне с самого начала и говорили, нечего. Единственное ограничение при замене аксиомы – чтобы система в целом осталась непротиворечивой. В замечательном сборничке, на  который я в основном опираюсь (его полное название – «Об основаниях геометрии: Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей», в конце его есть статья В.Ф.Кагана, где этот подход изложен предельно четко и, сколько могу судить, строго. Процитирую кусочек из начала статьи:
«Положим, что мы имеем какое-либо множество, или многообразие, элементами которого могут быть какие угодно объекты. В этом много­образии установим различные сопряжения его с самим собою; это всегда возможно сделать в любом многообразии. Сопряжения эти могут быть какие угодно; мы даже не предполагаем, что это должны быть не­пременно совершенные сопряжения. Далее, каждой паре различных элементов этого многообразия отнесем произвольно выбранное ариф­метическое число, отличное от нуля; это также, конечно, можно вы­полнить разнообразнейшими способами.
Таким образом, мы будем иметь многообразие, в котором, устано­влена некоторая система сопряжений его элементов и каждой паре элементов соответствует некоторое арифметическое число, произвольно, по нашему усмотрению, ей отнесенное. Когда этот процесс выполнен (т. е. когда установлены сопряжения и арифметические числа, отнесенные каждой паре элементов), мы будем называть многообразие геометрическим пространством, его элементы — точками, установленные в нем сопряжения — движениями, а числа, отнесенные парам точек,— расстояниями между точками. Так как эти сопряжения (движения) можно устанавливать чрезвычайно разнообразно и разнообразно же можно распределять между точками расстояния, то чрезвычайно раз­нообразны могут быть пространства. Соотношения, проистекающие из характера установленных в пространстве движений и расстояний, и составляют геометрию этого пространства». И т.д. – по-моему, все ясно.
Вопросы встают при попытках интерпретировать эти геометрии, отыскивать или строить пространства, им подчиняющиеся. Причем, как уже писал, нет нужды ограничиваться чувственно воспринимаемыми интерпретациями – у о. Павла Флоренского (давно не перечитывал) есть применения к духовному миру.
Первую попытку интерпретировать геометрию Лобачевского, так, чтобы «вписать» ее в евклидову, «отыскать ее реальный субстрат» сделал Бельтрами. У него получилось, что «гиперболическая плоскость» Лобачевского, в которой сумма углов треугольника меньше π, совпадает по метрике с евклидовой псевдосферой. При этом для трех измерений Бельтрами отрицал возможность такой интерпретации, «поскольку пространство, в котором такое представление может материализоваться, отлично от того, что мы обычно называем "пространством"».
А.Коффа рассказывает об этом как раз в интересующем меня контексте полемики вокруг кантовского «чистого созерцания» геометрических предметов и отношений. Интерпретация Бельтрами, пишет он, вполне уживается с созерцанием, псевдосферу можно увидеть. Разрыв с Кантом наступил позже. Коффа указывает на Гельмгольца как опознавшего в геометрии Лобачевского именно новую геометрию – гиперболическую.
Но вот тут можно задержаться. У Гельмгольца в той самой работе, на которую ссылается Коффа, есть большой пассаж про двумерное пространство и его геометрию: «Представим себе—а в этом нет никакой логиче­ской невозможности — одаренные рассудком существа всего лишь двух измерений, живущие на поверхности любого из наших твер­дых тел и движущаяся на ней. Примем, что эти существа не обладают способностью воспринимать что-либо вне этой поверхности, по обладают восприятиями, подобными нашим, внутри протяжения этой поверхности. Если такие существа выработают свою геометрию, то они естественно припишут своему про­странству лишь два измерения. Они найдут, что движущаяся точка описывает линию, а движущаяся линия—поверхность, которая для них представляет наиболее совершенный, им известный, пространственный образ (Raumgebilde). Но они так же будут не в состоянии составить себе представление о дальнейшем пространственном образе, который произошел бы, если бы поверхность выдви­нулась из своего поверхностного пространства, как мы не в состоянии составить себе пред­ставление об образе, который получился бы при выдвижении тела из известного нам пространства». И т.д.
Общим в обоих примерах, как можно видеть, является то, что речь в них идет об ограничении того, что именуется «геометрией», поверхностью, ее «границами», т.е. сторонами. Позднее Миндинг назвал это «внутренней геометрией» поверхности. Его работа тоже есть в сборнике, но я для простоты процитирую определение из вики: «Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются внутренней геометрией поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при её изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании цилиндра в конус)». Понятно.
И этот подход можно распространить и на другие случаи. Всякий участок пространства, в границах которого действуют другая метрика, другие законы движения и т.д. и т.п., вполне может в этом же смысле рассматриваться как отдельное пространство со своей геометрией. Игры, на которые мне указывали (те же шахматы), подпадают под такое понятие о пространстве и геометрии. Равно как, кажется, и внутреннее пространство перспективного изображения со сходящимися параллельными, на которое мне указал seashellfreedom.
С точки зрения «правил игры», этот всё действительно разные геометрии. Но – почему я и повторяю вопрос об онтологическом статусе – их можно «вписать» в евклидову геометрию.
Но есть ведь и такие, которые не «вписываются». Или вписываются как-то иначе…
В завершение сошлюсь на замечательный в своем роде документ – письмо Н.Г.Чернышевского детям. Конечно, иметь в совопрошателях Чернышевского, многажды осмеянного, не слишком престижно. Тем более, что в письме этом он в отношении евклидомахов, того же Гельмгольца, груб до неприличия, но сомнения-то его не такие уж дурацкие, имхо.