September 8th, 2009

старый усмехаюсь

Задача Фимы Фрида

Задам задачку. Я взял ее из книжки Юрия Громыко, а он пишет, что ее придумал покойный методолог Фима Фрид.

Двое. Между ними лист бумаги, на сторонах которого написаны два соседних числа натурального ряда, по числу на каждой стороне. Каждый видит только свою сторону. Между ними разговор:
Первый: Я не знаю твоего числа.
Второй: Я знал, что ты не знаешь.
Первый: О! Тогда я знаю твое число.


В варианте, приведенном в книге, далее следует
Второй: О! Тогда и я знаю!
Но в моем понимании задачи эта последняя реплика излишня. Во всяком случае, совершенно неуместно слово "тогда": знание вторым числа первого не основывается на сообщении первого о своем знании.

Комменты скринятся.

Ха-ха! (Это я над собой). История моих ошибок такова.
Задачу я сначала решил неправильно (мой первый ответ был 1 и 2). Поэтому-то сначала забыл о последней реплике Второго, а потом, перечитав условие в книге, решил, что оно лишнее.
Из отвечавших некоторые пропажи не заметили и давали правильное решение по памяти о правильном условии.
Другие, потому ли, что условие было дано неправильно или... дали неправильное решение 1 и 2.
Мне найти правильный путь рассуждения помогло, признаюсь, то, что я увидел ответ 2 и 3 (предлагаемых обоснований не читал).
Рассуждение, приводящее к правильному решению, даю в отдельной записи.
старый усмехаюсь

Задача Фимы Фрида: обсуждение решения

Рассуждаем следующим образом.
Нам придется поочередно смотреть с точки зрения первого, второго и своей, решающего задачу.
Начнем с того момента, когда Первый в ответ на сообщение Второго, что он ЗНАЛ, что Первый не знает числа Второго, находит ответ на вопрос, какое у первого число. Как он рассуждает? Это такое число, которое позволило Второму ЗНАТЬ о незнании Первого.
Но знать о незнании Первого Второй мог во многих, почти во всех случаях, поскольку для почти у всякого натурального числа два соседних, меньшее и большее.
Точно знать без всякого рассуждения о числе другого можно, только если у тебя 1, имеющее лишь одно соседнее число - 2.
Первый не мог иметь 1, иначе он бы знал число Второго: 2.
Первый мог бы из знания Вторым о его незнании умозаключить, что у Второго 1 (у него, Первого, в этом случае было бы 2). Но этот вариант не годится для нас, решающих задачу, ибо тогда обессмысливается последняя реплика Второго: ему не нужно было бы ждать, что скажет Первый, имея 1, он сразу же знал бы, что у Второго 2.
Но и все варианты, при которых у Второго больше трех не годятся - тогда у него не было бы возможности знать число Первого.
Остается вариант, при котором у Второго 2, а у Первого 3. Тогда Второй, исключив 1 у Первого (тот же не знает), сообщает ему, что ЗНАЛ (с самого начала, без информации от Первого) о его незнании. Первый тогда, имея 3, исключает 4 у Второго (не мог бы при 4-х Второй ничего знать о его незнании, т.к. должен был бы допускать возможность, что у него неинформативные 5). Значит, у Второго 2, а у Первого - 3!