"Сумма углов прямолинейного треугольника не может быть > π; напротив, сумма углов сферического треугольника всегда > π".
Точнее, на его первой части (со сферическими треугольниками потом).
Ну как это "не может быть больше π"? Т.е., конечно, не может, если точно известно, что она равна π. Это же элементарно доказывается:
СD параллельна AB. Угол d равен углу b. Угол e равен углу a. c + d + e = π, значит и a + b + c = π.
Я понимаю, точнее знаю, до понимания еще не дошел, что суть в отказе принимать 5-ю аксиому Евклида - о том, что через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. Видимо, применительно к приведенному мною доказательству это значит, что, помимо CD могут быть и другие прямые, параллельные AB. И что? А то, что тогда, наверно, сумма a, b и c может оказаться меньше π, но никак не выйдет за пределы развернутого угла π.
Но, признаюсь, не могу себе вообразить эдакое.
И вообще, мне непонятны претензии к 5-й аксиоме (с которых начинается и эта работа Лобачевского: "нигде в Математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий"). Все в принципе можно усомнить, но она ничуть не менее очевидна, чем первые четыре.
Чего-то важного я, кажется, не схватываю - в самом понятии строгости, в ее критериях. Я, подобно Канту, доверяю своему Anschauung и вижу, что в мире, где я живу, через точку можно провести одну параллельную и что сумма углов прямолинейного, он же плоский, треугольника равна π.