gignomai (gignomai) wrote,
gignomai
gignomai

Category:

о 24-й проблеме Аристотеля

Завис на пару дней над парадоксом концентрических колес.
История эта начинается с Аристотеля. В его (или приписываемых ему) "Механических проблемах" - это проблема 24:
"Недоумевают, почему большой круг разворачивается в равную с малым кругом линию, когда они соединены в одном центре? Если они разворачиваются порознь, то как относятся величины кругов, так относятся и линии. А если оба круга имеют один общий центр, то какую линию разворачиванет большой круг, такую же линию разворачивает и малый круг".
С ней разбирался Галилей в "Беседах и математических доказательствах" (второй том "Избранных сочинений")
А я впервые прочитал об этом в первом публичном выступлении Г.П.Щедровикого (gp54a в Электронной библиотеке ММК 2000). ГП приводит рассуждение Галилея как открытие им того парадоксального обстоятельства, что к бесконечным множествам не применимы понятия равенства и неравенства.

Галилей рассудает, правда, красиво. Он начинает с качения концентрических много- (шести-) угольников.




Совсем просто и наглядно это представлено в сопременном пересказе и цветных картинках вот здесь. Можно видеть, что равенство пройденного большим и малым шестиугольниками пути достигается за счет того, что углы малого 6-ка совершают скачки, так что его стороны не выкладываются вдоль соответствующей прямой одна к одной, а перепрыгивают в новое положение, оставляя позади отрезки без их касания. Т.е., если большой 6-к катится, то малый к тому же еще перемещается скачками без качения.
А дальше Галилей начинает увеличивать число сторон многоугольника, сначала предлагая вообразить 1000-угольник, а потом и вовсе бесконечноугольник, т.е. круг.
Вот тут, по-моему, становится видно различие между умом современного физика и умом Галилея. Для современного комментатора "получить ответ с помощью (выработанных много позже) кинематических представлений не представляет труда: мгновенный центр вращения рассматриваемой плоской фигуры находится в точке ее соприкосновения с нижней горизонталью, и, следовательно, низшая точка малого круга обладает в каждый момент отличной от нуля скоростью, иными словами - малый круг не просто катится по соответствующей горизонтали, но одновременно скользит вдоль нее" (Избр. соч. с. 437).
Любопытно, что именно это объяснение выдвигает Сагредо, оппонент Сильвиати-Галилея, но Галилей его не принимает:
"Этого не может быть по двум причинам. Во-первых, нет никаких оснований для того, чтобы соприкосновение, подобное суще­ствующему в точке С, проходило одну часть линии СЕ скользя, а другую иначе; если бы это происходило так, то должно было бы существовать бес­конечное множество таких прикосновений (ибо это точки); и следы таких скользящих прикосновений к линии СЕ были бы бесчисленными, а будучи конечно образовали бы бесконечную линию; но линия СЕ конечна. Другая причина та, что когда больший круг при своем вращении меняет точки касания с прямой, то меньший круг не. может не делать того же, так как ни из какой другой точки, кроме точки В, нельзя провести прямой линии к центру А, которая проходила бы в то же время и через точку С; поэто­му как только большая окружность меняет точку касания, так тотчас же меняет таковую и меньшая окружность, и только одна точка малой окруж­ности может соприкасаться с одной точкой соответствующей прямой ли­нии СЕ."
И дальше Галилей
предлагает своё объяснение:
"
Я возвращусь к рассмотрению упомянутых выше многоугольников, на которых явление было понято и уяснено нами, и скажу, что как в многоугольнике со ста тысячами сторон путь, пройден­ный при обороте, измеряется обводом большего многоугольника, т. е. от­ложением без перерыва всех его сторон, в то время как путь меньшего многоугольника также равен ста тысячам его сторон с прибавлением тако­го же числа, т. е. ста тысяч пустых промежутков, так и в кругах (пред­ставляющих собою многоугольники с бесконечно большим числом сторон) линия, образуемая непрерывным наложением бесконечно большого числа сторон большего круга, приблизительно равна по длине линии, образован­ной наложением бесконечно большого числа сторон меньшего круга, если включить в нее и промежутки; а так как число сторон не ограничено, а бесконечно, то и число промежутков между ними также бесконечно; бес­численные точки в одном случае заняты все, в другом случае часть их занята, а часть пуста. Я хотел бы, чтобы вы заметили себе, что, разделяя ли­нию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя по­лучить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине перво­начальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но пред­ставляя себе линию разделенной на неконечные части, т. е. на беско­нечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растя­нутой без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих неделимых пустот".
Т.е. он выходит, фактически, к рубежу двух поздейших открытий - исчисления бесконечно малых (не знаю, ссылались ли в этом на него Ньютон и Лейбниц) и исчислению актуальных бесконечностей. На что, собственно, и указывал в 1954 году ГП.
Да и в самом деле, так ли уж понятно утверждение, что нечто (фигура) одновременно катится по линии, т.е. в каждый момент "цепляет" ее, и скользит по ней? Так ли уж понятно, чтобы прекращать над этим думать?



Tags: Аристотель, Галилей, Щедровицкий, бесконечность, парадокс
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 134 comments