gignomai (gignomai) wrote,
gignomai
gignomai

Category:

Рабочий перерыв 10: Решение арифметических задач детьми 1

[[Одно цепляет другое. Раз уж затронули анализ решения детьми арифметических задач (как одно из направлений исследования мышления), надо бы еще вот этот текст посмотреть. Это состоявшееся в 1961 или 1962 году обсуждение работы «К анализу процессов решения простых арифметических задач», чуть позже опубликованной в соавторстве с С.Г.Якобсон. ГП в это время работает в НИИ дошкольного воспитания, отсюда в числе обсуждающих директор Института А.В.Запорожец и др. его сотрудники]].

Я не буду излагать содержание того, что уже изложено в том тексте, который я представил, но так как это часть большой работы, причем даже не целостная часть, т.е. там не хватает каких-то кусков и предварительных, и посередине, что видно из нумерации, которая там была, то необходимо сделать ряд по­яснений. Во-первых, о цели, во-вторых о методе и, в-третьих, об общем плане этой работы, т.е., в частности, о том, что было пропущено и в какой мере эти куски не­обходимы для понимания всего в целом. Таким образом, то, что я буду говорить, это не изложение, так сказать, самого содержания, а, скорее, об этой работе.
Прежде всего, я исходил из того, что процесс разви­тия ребенка представляет собой процесс усвоения элементов той культуры, которая выработана человечеством. Причем это усвое­ние происходит в определенной системе, в определенной последо­вательности, т.е. усвоение одних знаний, способов деятельности, мыслительных операций является условием и предпосылкой усвое­ния других каких-то, а они в свою очередь становятся той основой, на которой только и станет возможным усвоение каких-то третьего типа знаний и мыслительных операций. При этом, сам этот процесс зависимости усвоения одного содержания от друго­го он как-то распадается, раскладывается на два плана. Во-пер­вых, ведь для того, чтобы ребенок усвоил определенное объективное содержание, противостоящее ему, он должен уже иметь ка­кие-то знания интериоризованные, т.е. в себе, какие-то способности. Таким образом, вот эта зависимость, так сказать, одного материала от усвоения другого выступала, прежде всего, как зависимость от уже накопленных ребенком способнос­тей, умений, навыков, если хотите. С другой стороны, так как эти способности сами являются продуктом какого-то предва­рительного развития, интериоризации, [то для исследования нужно, чтобы] весь этот процесс – от нового объективного содержания к ребенку, а затем от ребенка к предшествующему объективному содержанию – мог быть как-то выпрямлен, т.е. можно было бы расположить сами эти зна­ния, операции, т.е. то содержание, которое усваивается, в опре­деленной генетической последовательности, в определенной таблице. Это составляло второй план в анализе вот этой последовательности или системности усваиваемого материала.

[[Об этой усвояемой из культуры «матрице замещений» см. также в предыдущем обсуждении – здесь и в предыдущих постах]].

Меня интере­совали, прежде всего, те содержания, которые должны быть даны дошкольникам. Но для того, чтобы выяснить, что же должно быть дано дошкольникам в порядке подготовки их к школе, не­обходимо было начать анализ с того, что дается в школе, т.е. проанализировать то, что они должны усвоить в школе с точки зрения предпосылок усвоения, т.е. того, чего оно объективно требует в качестве необходимого условия. При этом для такого узкого исследования мы выбрали косвенные арифметические задачи. Почему именно косвенные арифметические задачки? Потому что именно на них дети сталкиваются с определенными трудностями и, по существу, именно эти задачки они не усваивают, причем вплоть до шестого класса. Вот сейчас одна из студенток, которая ра­ботает у меня в семинаре в институте, проводила практику в школе и давала задачки на проценты в шестом классе. Оказалось, что она дала задачки не так, как обычно дают учителя, не по шаблону этому, дала задачки, которые требуют так называемого размышления, задачки, которые содержат в качестве одного из элементов эту косвенную форму. Оказалось (это зафиксировано в контрольной работе), что весь класс, за исключением двух детей, этих задачек не решил. Т.е. вот они дошли до шестого класса и этот способ деятельности остался ими не усвоенным. При этом мы предположили, что эти косвенные задачки являются собственно арифметическими, потому что другие задачи могут решаться другими не собственно арифметическими способами. Кроме того, мы рассматривали эти косвенные задачи как такую, довольно сложную, синтетическую деятельность, которая в качестве своих условий и предпосылок имеет целый ряд других понятий, операций и т.д.
Работу по анализу косвенных задач мы начали с того, что проанализировали подходы к ним со стороны методистов. Я очень кратко скажу об этом. Дело в том, что все, без исключения, рассуждения методистов велись до сих пор в том плане, что вот дети умеют решать простые задачки, не косвенные, они их понимают, а когда они переходят к косвенным задачам, то их они не могут решать и не понимают. Значит, в этих задачках нужно какое-то особое понимание, рассуждение, осмысливание, в то время как в простых задачках, по-видимому, как следовало из логики рассуждения авторов, такого понимания, такого рассуждения не нужно. Вот, собственно, дальше этого дело и не пошло, никто из методистов не поставил вопрос о способе той деятельности, с помощью которой эти задачи решаются, и не сделал попытки проанализировать это понимание с точки зрения способа деятельности.
Дальше мы столкнулись с одной очень интересной вещью, и на это указывал один из методистов, Эрн, в 1915 году: что дети, которые не умеют решить косвенных задач путем вычитания и сложения, в какой-то другой ситуации, с небольшими числами, очень просто эту задачу решают и дают ответ. Но когда их просят затем записать решение сложением и вычитанием, они записывают неверно и, подчиняясь уже логике этой записи, дают неверное решение. Факт, что дети дают ответ на такие задачи, заставлял думать, что дело тут совсем не в том, понимают они или не понимают эти задачи. То, что они дают ответ, значит, что они понимают, и встал вопрос, каким же способом дети решают эти задачи, не тем общественно-фиксированным способом, которого от них требуют учитель, не сложением и вычитанием, а каким-то своим, другим. И вот первая задача состояла в том, чтобы, во-первых, выделить вот этот их собственный способ, каким они, казалось бы вне обучения, пришли к решению этих задач, проанализировать его строение, затем проанализировать вот этот общественный, зафиксированный, необходимый способ решения путем сложения и вычитания, сравнить их между собой, их строение, понимание, требуемое каждым, и затем поставить вопрос о том, как от одного переводить к другому, если этот способ является генетической предпосылкой.
Но здесь я обращаю ваше внимание на еще одну проблему. Да, дети могут решать своими обычными способами и приходить к ним сами или в результате обучения, но ведь этот способ может оказаться «слепой кишкой», т.е. может оказаться, что общественно-фиксированный способ надо формировать, совсем не основываясь на нем, а основываясь на чем-то другом. Эта задача тоже должна была быть решена.

[[Вопрос, насколько мне известно, – так до сих пор и не решенный составителями школьных программ]].

Попробую еще раз резюмировать, потому что в моей работе это выражено недостаточно четко и ясно.
Значит, встал вопрос, что собой представляет по строению этот, как мы его назвали, «собственный» способ решения арифметических задач. Является ли он продуктом детского саморазвития, или наоборот, он возникает в процессе усвоения, как результат специального обучения, и наконец, является ли этот собственный способ действительно необходимой генетической предпосылкой, условием усвоения общественно-фиксированною способа. <…>
Для этого мы провели специальную группу наблюдений и, прежде всего, обнаружили, что этих способов несколько. Ну, например, есть дети, которые совершенно отчетливо считают на пальцах, т.е. сдвигают пальцы, группируют их как-то, прикладывают к носу – один способ. Другой способ: дети начинают считать цифры, т.е. 8, 1, 7, 2, 6, 3; это совершенно отличный способ решения. Нет никаких моделей, есть движение в цифровом ряду. Есть дети, которые считают прямо, по числовому ряду от меньших чисел к большим, есть дети, которые считают обратно. Наконец, выявилась группа детей, которые уже владеют этим числовым рядом очень точно, они могут отнимать по 3, по 2. Он говорит: 8 ми­нус два – 6, минус еще 2 – 4, и еще минус 2 – 2. Или тройками, предположим; это еще какой-то другой способ. Наконец, были дети, которые просто говорили: «А я знаю, что 2 и 5 будет 7, я знаю, что 6 минус 3 будет 3 и т.д.». Это тоже какой-то способ.
Но когда их сталкивали с косвенными задачками, заставляли решать с цифрами побольше, то оказывалось, что они решить задачки не могут. Таким образом, оказалось пять или шесть различных детских способов решения, и здесь встала прежде всего проблема…
Давыдов. Не совсем понятно, это способ счета или способ решения косвенных задач?
Щедровицкий. Способы решения задач, и косвенных в том числе, на косвенных это проявляется особенно остро. Но для нас косвенная задача здесь уже отошла немножко на задний план, т.е. вот в этом пункте мы уже не делали различия между тем, как они решают, одни или другие, это всё потом, так сказать, приобрело значение уже в другом плане. Здесь нас просто интересовало, что представляет собой этот способ, который дети применяют для решения арифметических задач вообще. Сейчас все эти различия принципиально снимаются, но вот после того, как мы зафиксировали все эти виды решения, встала исключительно важная задача – я на ней так подробно останавливаюсь, потому что это как paз в этом тексте очень плохо отражено, –встала задача выбрать из этих пяти способов тот, который является исходным, расположить их в какой-то генетический ряд по отношению к общественно-фиксированному способу, значит, рассмотреть одни как предпосылки к другим. Ведь могло оказаться, что всё это какие-то тупиковые способы, которые совсем не лежат в одной линии в онтогенезе, а есть просто такие тупики, к которым приходят те или иные отдельные дети, и в дальнейшем они должны будут просто отбросить их, сломать и переучиваться на другой способ.
Но первый вопрос, который мы должны были здесь решить: какой из способов является самым простым. Мы предположили, что – повторяю, это гипотеза, – что таким, самым простым способом является пересчет на пальцах, моделирование и пересчет на пальцах. Почему? Нам казалось, что он генетически более с всего связан с предшествующим способом деятельности, усвоенным детьми, со счетом предметных совокупностей, что именно к этому способу легче всего перейти, если пытаться использовать в ситуации разрыва, которая создается заданием арифметической задачки, вот эти уже ранее усвоенные способы решения. Мы предположили, что пересчет на пальцах и решение задач на пальцах является самым простым, к которому приходят сами, как бы естественно, от предшествующего и что поэтому его надо анализировать самым первым.

[[Любопытен акцент на ситуации «разрыва», т.е. проблемной ситуации – тема, которая в дальнейшем станет в ММК центральной в исследовании и выращивании мышления]].

Но здесь мы встали перед задачей проанализировать этот способ решения с точки зрения его строения, потому что только таким путем, проанализировав строение, мы могли надеяться выяснить почему он возникает у детей и является ли он предпосылкой общественно-фиксированного способа решения задач на сложение и вычитание. И вот, поставив таким образом вопрос, мы были вынуждены втянуться в довольно длинное и, возможно, в каком-то плане мало интересное теоретическое исследование этого способа деятельности, т.е. провести длинный теоретический экскурс, прежде чем вернуться к своему материалу. В частности, мы должны были ответить на следующий вопрос: что такое счет, каковы те задачи, для решения которых он возникает? Раз. Второе – что такое предметное преобразование совокупностей? По каким законам оно происходит? То предметное преобразование, которое потом фиксируется в условиях арифметической задачи, и в частности, учебной. Мы должны были выяснить вообще, что такое задача как особая действительность, которая встает перед ребенком. При этом сам анализ задачи распадается на целый ряд этапов. Прежде всего мы ввели фиктивную, абстрактную модель арифметической задачи, заданной предметно. Такой задачи, вообще, в сов­ременном человеческом обиходе не существует, задачки все задаются в числах, и решаются тоже чисто численным путем, без обращения к предметам, но раз у детей обнаруживается способ, когда они эту задачу превращают в предметно заданную, т.е. переходят от численно заданных величин к моделированию их на пальцах, то мы должны были произвести такую фиктивную задачку, рассматривая ее как некоторую предформу, и проанализировать ее строение. Мы должны были рассмот­реть варианты этих фиктивных или абстрактных арифметических задач и посмотреть, какие способы решения являются для них более естественными. При этом обнаружилось, что, за исключением одного варианта, решение на предметах путем их пересчета яв­ляется более простым и более эффективным с точки зрения вре­мени и затраты сил, чем численное решение; только в одной зада­че выяснилось, что ее решать на числах легче чем в предметах. Таким образом, мы напали на очень интересную задачку, которая может служить критической, такую, что если ребенок усвоил способ пересчета, а затем мы ему даем эту задачу, то он становится перед необходимостью перейти к новому способу, потому что решить старым способом, путем предметного счета, оказывается очень трудно.
Затем мы рассмотрели учебную арифметическую задачку, очень кратко, и ее отличие от этой вот фиктивной, предметно заданной. После этого, казалось, можно было перейти к собственно детскому поведению, к тем способам деятельности, которые обнаруживаются, но здесь мы столкнулись тоже с одной исключительно интересной и важной штукой, и для меня, например, эта вещь выступал впервые, потому что я никогда с такими вещами дела не имел. Речь идет о понимании, т.е. до этого мне всё представлялось довольно просто: что вот есть какой-то общественно-фиксированный способ решения задач и если мы проанализировали его строение, его структуру, предметно задав ее, и показали ребенку, как делать, то ребенок, так сказать, ее берет, и начинает с ней работать. А вот как он берет, что при этом происходит? Этот вопрос раньше отходил на задний план; поскольку я занимался мышлением с точки зрении логики, меня, например, он интересовал меньше всего. Но здесь ока­залось, что на передний план выступает как раз вот этот процесс – когда ребенок берет. Оказывается, он связан с определенным пониманием, и встала теоретическая и во многом практическая зада­ча, что представляет собой это понимание? [[Еще одна тема, из числа центральных для ММК]]. Ведь, может быть, понимание, это какая-то ориен­тировочная часть при усвоении способа деятельности. Здесь вообще возник исключительно широкий круг проблем, с моей точки зрения, имеющих первостепенное значение именно для нашей работы в плане дошкольной жизни ребенка. Здесь встал этот вопрос: что ­значит усвоить общественно-фиксированный способ деятельности? Не создает ли здесь ребенок чего-то еще дополнительно и что он вообще делает, в чем заключается этот процесс усвоения? Он же не перекладывает его себе в голову, он, видимо, создает еще что-то, т.е. здесь очень естественно выталкивается какое-то новое образование, которое должно стать предметом пристального внимания. И что это за понимание? Понимание чего? Каково его содержание? Какова его структура? Как оно относится к способу деятельности? Как оно зависит от способа деятельности, или, в свою очередь, определяет его?
И, я забегаю немножко вперед, дальше встал вопрос: а ведь нужно еще понимание этого способа деятельности, т.е., если мы предположим, что ребенок усвоил уже какой-то способ и теперь он с точки зрения этой деятельности должен понять условие или текст задачи, вы­делить в ней какое-то содержание, так сказать, необходимое для этого способа решения, [то это значит, что] предварительно ребенок еще должен усвоить сам этот способ или, может быть, параллельно как-то, но каким-то особым ходом он должен понять и его тоже. Т.е. здесь развернулся огромный круг проб­лем собственно усвоения, или развития через усвоение, который для меня был в какой-то степени новым, он в этой работе обсуждается, но результаты ни в коем случае нельзя считать удовле­творительными, или в какой-то мере само исследование считать продвинувшимся.
Теперь я попробую прорезюмировать этот кусочек. Значит, проанализировав логическими методами строение того способа деятельности, который ребенок должен усвоить и каким он, как выяснилось, пользуется, мы столкнулись с совершенно новой об­ластью, органически входящей сюда же – это область понимания. Ребенок должен усвоить этот способ деятельности, и при этом он должен что-то понять, так вот что понять? Что собой представляет это понимание? Поставив эту группу вопросов, мы затем перешли собственно к анализу ряда процессов решения задач путем моделирования на пальцах, к анализу того понима­ния, которое при этом необходимо. Мы выделили шесть вариантов задач, разобрали их теоретически, предположили, что каждый из этих вариантов требует особой работы по пониманию, причем рассмотрели их с точки зрения двух параметров. Значит, есть определенная последовательность задания в тексте условий: каких-то предметов там было столько-то, потом прилетело столько-то, а всего стало столько-то; и есть определенный порядок моделирова­ния, т.е, если нам говорят, что сидело сколько-то птичек, потом к ним прилетело еще, скажем, 10 птичек и дальше стало 20, то решение задачи – даже путем моделирования – предполагает, что мы начинаем сначала, с моделирования 20-ти, т.е. целого. Таким образом, порядок моделирования оказывается противоположным порядку задания величин в условиях и, значит, ребенок должен, по сути дела, перевернуть эти условия задачи, т.е. как-то их переосмыслить, как-то иначе их понять. Так встал первый пункт ана­лиза: как влияет вот это отношение между по­рядком подачи в условиях и порядком моделирования? Мы все за­дачки рассмотрели с этой точки зрения. Затем второй вопрос: отношение между предметными преобразованиями и преобразованиями в моделировании. Сидели птички, к ним прилетело еще столько-то, и стало всего столько-то. Значит, в предметной совокупности предметы объединяются, а когда мы начинаем эту задачу решать путем моделирования, то мы должны из одной совокупности, кото­рую мы промоделировали, вычесть другую совокупность, несмотря на то, что птички прилетали. Вот второй параметр, по которому мы рассмотрели эти задачи.
Выделив возможные трудности которые могут встать у детей при решении этих шести вариантов задач, мы затем провели серию экспериментов на выяснение того, имеется ли в действительности то, что мы предположили, или нет.
Обнаружилось в экспериментах, что те теоретические предположе­ния, которые были сделаны, полностью подтверждаются, т.е. если, предположим, мы сначала предполагали, что для решения этой задачи ребенок должен будет перевернуть условия, то наши дети, которые решают чистым способом моделирования или его варианта­ми, они прямо так и спрашивали в конце: так сколько всего было? Или: сколько получилось, после того, как прилетели? И совершенно отчетливо перевертывали эти условия. И вообще, все те затруднения, которые были предусмотрены по теоретическому анализу, совершенно отчетливо в этих группах обнаружи­вались.
Этот момент я специально подчеркиваю, потому что это было так на самом деле, не то, что мы увидели, а потом придумали всю эту штуку, нет, на самом деле это все проис­ходило в противоположном порядке. Больше того, надо сказать, что до того, как мы провели теоретический анализ, мы ничего не видели в самом этом материале, т.е. мы заносили эти непохожие варианты в совсем другие группы и как-то иначе их понимали.
Теперь, из этих же экспериментов очень отчетливо обнаружилась следующая вещь: что все эти трактовки косвенных задач, которые делались авторами-методистами, в частности, в работе Немчинской, являются неверными, что тут совершенно нельзя го­ворить о том, что дети понимают или не понимают задачи. Можно говорить только так: понимают с точки зрения своего способа решения. Они могут понимать эту арифметическую задачу с точки зрения моделирования на пальцах, решения задач таким путем, а когда вы их заставляете решать другим путем, способом сложения и вычитания, то они эту же задачку перестают понимать, потому что понимание, необходимое для моделирования на пальцах, и понимание, необходимое для решения путем сложения и вычитания, являются совершенно различными. Выяснилось, что ни у одного ребенка – у непродвинутого, у слабого и т.д. – никаких затруднений со специфически косвенными задачами при решении путем моделирования вообще не возникает. Там возникают у них свои трудности; есть дети, которые не умеют решать эти задачи, не умеют решать некоторые из арифметических задач путей моделирования на пальцах, но это не те задачи, которые обычно называются косвенными, как раз кос­венные задачи, т.е. вызывающие трудности у детей при сложении и вычитании, и даже больше того, задачи, которые, по-видимому, у этих же детей вызовут трудности в дальнейшем, через некоторое время, они при моделировании на пальцах зат­руднений вообще не вызывают. Вот, собственно на этом часть, ко­торая представлена сюда [т.е. представленный на обсуждение текст], заканчивается; ее продолжением должны быть следующие моменты.
Во-первых, я уже говорил о том, что когда мы только начали выявлять вот этот способ, там обнаружился целый ряд ва­риантов, т.е. одни решают путем моделирования па пальцах, другие же решают путем счета и пересчета самого цифрового ряда, некото­рые по одному, другие парами и т.д. Мы предположили, что эти другие варианты являются развитием моделирования на пальцах, результатом интериоризации и опускания некоторых промежуточных звеньев. Что здесь происходит? Одна очень характерная вещь. Сначала дети получают какие-то числа – А, В, С; они моде­лируют на пальцах, или на предметных совокупностях, потом они их пересчитывают, а потом считают сюда:



Здесь, таким образом, имеется вот эта вот часть, спуск сюда, потом движение в числах, а потом вот это звено [пальцы или предметы] просто выпадает, остается вот это [числа], но, по сути дела, они выступают не как числа, а как те же самые модели, однозначно связанные с объектами. И ребенок начинает теперь пересчитывать числа числового ряда; он считает, например, так: 1, 7, 2, 6, 3, 5. Ага, три осталось. Почему три? Потому что перед этим было три. Таким образом, это путь есть изощрение, упрощение, интериоризация в то же время вот этого предметного моделирования.
Кроме того, в результате анализа этого моделирования на пальцах, мы выяснили целый ряд предпосылок и условий, которые являются необходимы­ми условиями для применения этого способа. В частности, это – отношение целого и части, которое является необходимой предпосылкой для решения вот этих критических задач с перевертыванием <…>.
Но всё это есть, по су­ществу, анахронический способ, т.е. способ, который у ребен­ка вырабатывается вопреки обучению, или под влиянием неправильного обучения. Должен же дальше быть освоен другой способ – соб­ственно арифметического решения. Он тоже имеет свои предпо­сылки и вот анализом этого способа мы очень много занимались, но пока это не оформлено, это будет оформлено вероятно в ближайшие два месяца. Мы хотим посмотреть, совпадают ли предпосыл­ки вот этого собственно арифметического способа с вот этим способом [пересчетом чисел] и в каком отношении этот и тот находятся друг с другом, можно ли будет вот этот способ [сложения и вычитания] формировать прямо отсюда [от моделирования на пальцах], минуя вот этот [пересчет чисел]? Или, наоборот, в этом способе [пересчета чисел] все-таки формируются какие-то способности и какие-то предпосылки, которые являются необходимыми для этого [арифметического] спосо­ба?
Что мы здесь делаем? Основное направление исследования пошло по такой линии. Мы начали анализировать само это понимание, которое здесь обнаружилось. Мы предположили, что ребенок, для того чтобы выбрать действие сложения или вычитания, должен предварительно проанализировать отношение целого и части, и пока здесь процесс решения пошел по такому пути. Имеется текст, имеется способ сложения и вычитания, который ребенок должен формально усвоить. Ребенок его формально усвоил и умеет решать примеры, но решить задачу, в особенности косвенную, он не может. Как добиться от него решения? Надо сюда ввести промежуточную моделирующую систему, систему моде­лирующую смысл задачи, а именно отношение целого и частей. И здесь была построена целая серия экспериментов, и очень много наблюдений было проведено над тем, что происходит с детьми, когда им вводят вот эту систему.
Там есть своя куча удач и неудач, но само это исследование оказалось в каком-то смысле тупиковым. Почему? Потому что в ходе этих исследований выяснилось, что есть еще третий способ и что по отношению к нему уже этот выступает как анахронический, хотя ему и обучают в школе, это способ собственно алгебраический.
В чем основное различие между ними? Я сейчас рисовал условия арифметической задачки. Нужно выбрать между действиями сложения и вычитания, но для того, чтобы выбрать, нужно особым образом про­анализировать и понять [ситуацию] с помощью отношения целого и части, которое сюда вводится. Почему? Потому что, оказывается, что выбор арифметического действия определяется не тем, что происходило в предметном преобразовании: сидело столько-то птичек, к ним прилетело еще 10, стало всего столько-то – значит, раз птички прилетели, в предметном преобразовании мы имеем объединение, а выбирать надо знак минус, и решается задача путем вычитания. Почему? Потому что выбор этого действия определяется в арифметике не предметными преобразованиями, а отношениями целого и его частей. Ребенок, чтобы выбрать нужное действие и правильно решить косвенную задачу, должен предварительно предметные совокупности выразить, промоде­лировать в отношении части и целого и потом yжe, ориентируясь на это отношение, выделить в нем, что известно и что неизвестно, и на основе этого выбрать [необходимое действие]. [Введением] этой моделирующей промежуточной системы мы облегчаем процесс решения задач арифметическим способом <…>.
В алгебре плюс и минус имеют совершенно другой смысл, если в арифметике они выбираются на основе анализа вот этой промежуточной моделирующей плоскости, на основе выделения в ней каких-то содержаний – что известно, что неизвестно, – то в алгебре плюс и минус выбираются только на основе предметных преобразований, т.е. сидело столько-то птичек, мы не знаем сколько их. Потом прилетело еще 10. Прилетело? Очень здорово! Плюс 10, они же прилетели? И стало всего 20. [Получается уравнение,] его надо решить. Добавляется второе формальное действие и говорится: для того, чтобы решить уравнение, надо неизвестное оставить в одной половине, х = 20 – 10. Решаем. Вот алгебраический способ.
Плюс и минус в арифметике и плюс и минус в алгебре имеют совершенно различный смысл. В арифметике сложнее, чем в алгебре; в алгебре плюс и минус выбираются на основе предметных преобразований, т.е. эти две плоскости как бы поменялись местами, тут должна быть промежуточная и, значит, ее надо было вставить и сюда, и потом выбрать вот это, а здесь выбор плюса и минуса происходит по пониманию предметных условий. Далее вступает формальный план, и естественно, что этот формальный способ дети усваивают гораздо проще. Но он имеет, очевидно, свои какие-то предпосылки…
Итак, перед нами выступают такие три способа, каждый из них имеет свое строение, свои предпосылки. Этот – анахронический, но, может быть, <…>. Этот – современный, он проще, но он имеет свои предпосылки, [вопрос в том,] как его надо формировать. И задача в целом состоит в том, [чтобы] продолжить анализ этой деятельности, сравнить предпосылки одного, другого, третьего… Стоит кардинальный, основной для нас во­прос: как должно происходить это усвоение? И, я заканчи­ваю, мне представляется, что во всем этом исследовании самым интересным и перс­пективным является следующее. Мы ставим и будем ставить вопрос о том, как, в каком порядке, в какой последовательности усваиваются определенные вычлененные содержания, определенные способы деятельности. Какие существуют отношения между усвоением того и другого?
И это исследование будет идти, прежде всего, по пути опускания всех этих вещей в дошкольный возраст. [Здесь есть] эти предпо­сылки, целое и часть, возникнут какие-то формальные преобразования… Таким образом, встает вопрос о формальной деятельности у детей, – а формальной деятельностью у детей я называю вот эту деятельность: чтобы посчитать х, надо так-то и так-то преоб­разовать уравнение, построенное в соответствии с правилами. Надо будет посмотреть, в каком возрасте и как – прежде всего, как – усваивается вот этот момент. Если удастся показать, что усваивается легко и в сравнительно раннем воз­расте, то мы можем прямо двигаться непосредственно отсюда, [усваивать сразу] алгебраические способы решения. Я кончил.

[[Вот это – раннее введение алгебраических методов решения – стало предметом дискуссий в последующие годы и началось, как мы увидим, уже в обсуждении этого доклада. Алгебра в первых классах была введена в школе В.В.Давыдова. Не знаю, дожил ли этот подход там до нашего времени, а из той поры дошла такая байка. Приходит в школу большое начальство, проверять, как это такие крохи алгебру понимают. Спрашивает дядя у крохи, показывая на буквенное обозначение члена уравнения: А что здесь значит буква, к примеру, z? – Это несущественно, дяденька, отвечает кроха]].
Tags: Щедровицкий, дети, задачки, математика
Subscribe

  • (no subject)

    На хороший дзыр набрел (от Т., а она от "сэнсея"): "Разглядеть победу".

  • к сердцу прижму - к черту пошлю

    Написал я тут на днях коротенькую заметочку - чисто, так сказать, феноменологическую, безоценочную - про "молодящую злость" как…

  • Молодящая злость

    Голубые глаза и горящая лобная кость Мировая манила его молодящая злость Почему-то часто вспоминаются эти стихи - без всякого повода и последствий.…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments